Les racines n-ièmes de l'unité

Proposition

Soit `n \in \mathbb{N}^\ast` . Les racines `n` -ièmes de l'unité sont exactement les `n` nombres complexes distincts de l'ensemble
\(\begin{align*}\left\lbrace \text e^{\frac{2ik\pi}{n}} \colon k \in \left\lbrace 0 \ ; \cdot \cdot \cdot ; n-1 \right \rbrace \right\rbrace= \left\lbrace \text e^{\frac{0i\pi}{n}}=1 \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{n}} \ ; \text e^\frac{{4i\pi}{n}} \ ; \text e^{\frac{6i\pi}{n}} \ ; \text e^{\frac{8i\pi}{n}} \ ; ... \ ; \text e^{\frac{2(n-1)i\pi}{n}} \right\rbrace.\end{align*}\)

Démonstration

Montrons d'abord que les racines de l'unité sont les nombres complexes de la forme \(z=\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(z=r\text e^{i\theta}\) avec \(r>0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\) . On a :
\(\begin{align*}z^n=1 \Longleftrightarrow \left(r\text e^{i\theta}\right)^n=1 \Longleftrightarrow r^n\text e^{in\theta}=1 \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r^n=1 \\ n\theta \equiv 0 \ [2\pi]\end{array} \right.& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r=1 \\ \theta \equiv 0 \ \left[\frac{2\pi}{n}\right]\end{array} \right.\end{align*}\)
car \(r>0\) . Ainsi, on a \(\left\vert z \right\vert=1\) et il existe  \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(\theta=0+\frac{2\pi}{n} \times k =\frac{2k\pi}{n}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) , et donc \(z=\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}\) . Réciproquement, si \(z=\text e^{2ik\frac{\pi}{n}}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) , alors
\(\begin{align*}z^n=\left(\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)^n=\text e^{2ik\pi}=\left(\text e^{2i\pi}\right)^k=1^k=1.\end{align*}\)
Les racines \(n\) -ièmes de l'unité sont donc exactement les nombres complexes de la forme \(z=\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Montrons que les racines de l'unité \(z=\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}\) avec \(k \in \left\lbrace 0 \ ; ... ; n-1 \right\rbrace\)  sont deux-à-deux distinctes.
Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe deux entiers \(k\) et \(k'\)  dans \(\left\lbrace 0 \ ; ... ; n-1 \right\rbrace\) avec \(k \neq k'\) , tels que \(\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}=\text e^{\frac{2ik'\pi}{n}}\) . On a alors :
\(\begin{align*}\frac{2k\pi}{n} \equiv \frac{2k'\pi}{n} \ [2\pi]& \Longleftrightarrow k \equiv k' \ [n] \Longleftrightarrow k-k' \equiv 0 \ [n]\end{align*}\)
donc \(k-k'\) est un multiple de \(n\) . Or \(k-k' \in \left\lbrace -(n-1) ; ... ; n-1 \right\rbrace\)   et cet ensemble ne comporte qu'un seul multiple de \(n\) , qui est \(0\) . On a donc \(k-k'=0\) , c'est-à-dire \(k=k'\) : contradiction.

Montrons que les racines de l'unité \(z=\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}\) avec \(k \not\in \left\lbrace 0 \ ; ... ; n-1 \right\rbrace\) sont égales à l'une des racines de l'unité \(z'=\text e^{\frac{2ik'\pi}{n}}\) avec \(k' \in \left\lbrace 0 \ ; ... ; n-1 \right\rbrace\) .
Soit \(k\) un entier n'appartenant pas à l'ensemble \(\left\lbrace 0 \ ; ... ; n-1 \right\rbrace\) , autrement dit \(k \leqslant -1\) ou \(k \geqslant n\) .
On écrit la division euclidienne de \(k\) par \(n\) : \(k=nq+r\) avec \(0 \leqslant r, c'est-à-dire \(r \in \left\lbrace 0 \ ; ... ; n-1 \right\rbrace\) . On a alors :
\(\begin{align*}\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}=\text e^{\frac{2i(nq+r)\pi}{n}}=\text e^{2iq\pi} \times \text e^{\frac{2ir\pi}{n}}=\left(\text e^{2i\pi}\right)^q \times \text e^{\frac{2ir\pi}{n}}=1^q \times e^{\frac{2ir\pi}{n}}=\text e^{\frac{2ir\pi}{n}}\end{align*}\)
avec \(r \in \left\lbrace 0 \ ; ... ; n-1 \right\rbrace\) , donc \(k'=r\) convient.